手机现场报码开奖直播x01x02 20n 即积空间X1 X2也是
发布日期: 2019-10-07

  天下彩彩富网也希望这样的司机,2019-10-01,x01x02 x020n 即积空间X1 X2也是Banach空间 1内积空间在欧氏空间中向量的长度以及向量间的夹角都可以用内积来定义 本节将把内积的概念推广到无穷维空间 定义2 与之对应并且对任意的x RnCn都是内积空间 其上的内积分别定义为 1xiyi Cn其中x x1 x2 xn y1y2 y

  x01x02 x020n 即积空间X1 X2也是Banach空间 1内积空间在欧氏空间中向量的长度以及向量间的夹角都可以用内积来定义 本节将把内积的概念推广到无穷维空间 定义2 与之对应并且对任意的x RnCn都是内积空间 其上的内积分别定义为 1xiyi Cn其中x x1 x2 xn y1y2 yn 定义2 内积空间X中的元素xy如果满足 y为正交的记作x 内积空间X中的一族元素xj 如果满足xj xk 1为正规正交集62第二章空间理论定理2 1是内积空间X的正规正交集则对任意的x xnxn 构成赋范线性空间证明将x表成x xnxn xnxn 由内积空间的定义 容易验证上式右端第一项与第二项是正交的 因而有 xnxn xnxn xnxn xnNn N可以是正整数或可列无穷元素是内积空间X中的正规正交集 则对于任何的x X都有N Schwarz不等式对内积空间X中任意两个向量x y都有 就是正规正交集由Bessel不等式 结论得证由Schwarz不等式容易证明 若在内积空间X中定义 12则X按此范数构成赋范线性空间 显然 若内积空间X是完备的则称X为Hilbert空间 反过来 对于内积空间 我们有如下重要结果 定理2 极化恒等式对内积空间X中任意两个向量x y都有4 定理得证定理2 10赋范线性空间X成为内积空间的充分必要条件是对任意的x 证明必要性若X为内积空间 充分性当X是实赋范线第二章空间理论当X是复赋范线在空间C 显然不满足平行四边形法则这说明C 12l2是Hilbert空间 其上的内积定义为 1xiyi 其中x x1 x2 xn y1y2 yn l2 解首先 1xiyi 12此定义有意义 并且容易验证它满足内积条件 l2按 成为内积空间 下面证明l2是完备的 设xk 1是l2中的Cauchy序列于是任给ϵ 存在自然数N使得j xkxj 1是Cauchy数列故limkx n存在且有限记x0 3内积空间65令j可得m 这说明xkx0 l2 因l2是线 再由上式得 xk x0 即xkx0 所以l2是Hilbert空间 13L2 是Hilbert空间其上的内积定义为 上的范数恰好是由内积定义的证明首先由H older不等式知此定义有意义 并且容易验证它满足内积条件 而且按这个内积确定的范数恰好是例2 2时的范数从那里知L2 是完备的从而是Hilbert空间 X是线 v2 w2 w2 wn un unvk vk vn wn wn 1是一个正规正交集并且对任何自然数m 都有span u1 u2 um span v1 v2 vm 14内积空间X的正规正交集S 的Fourier系数坐标 定理2 15假设X是Hilbert空间 S是X中正规正交集 下列命题等价 X中没有非零元与S中每个元正交证明 反证法假设X中有正规正交集S1 则x与S中每个元都正交表达式 X与S中每个元正交如果x x1便是X中真包含S的正规正交集 矛盾 由Schwarz不等式对每个λ 于是若有不可数个 则至少有一个区间1k 与Bessel不等式矛盾现在 Λ中至多只有可数个不为0者将它们排列成 由Bessel不等式对任意自然数N 2收敛令yn ynym 可见yn 因为X是完备的所以可设yn 于是xx′与S中一切元正交 由假设x 16若X是可分的Hilbert空间 则X存在可数的正规正交基 en 通常称为Parseval公式证明由于X可分 X中存在可数稠密子集S 利用数学归纳法可以证明存在S中一个线性无关子集 xn 使得S中每个元都可以表示成xn 1中某些元的线性组合将Schmidt正交化方法应用于 xn 得到正交正规集en 1ajej从而 可以表成xn 由于S是X中稠密子集所以e 由上面定理知en 1是X的正规正交基下面给出一些正规正交基的例子 17l2空间的一组正规正交基为 en 18L2 并且对任意的uL2 19复数域C上的Hilbert空间X可分的充分必要条件是它有至多可数的正规正交基S 若S的元素个数N 则X同构于CN 若S的元素个数N 则X同构于l2 证明必要性 见推论2 16充分性 是X的正规正交基那么集合 1anenRean与Iman皆为有理数 是X中的可数稠密子集 所以X可分 对正规正交基 en 由此可见对应T是XCN 的既单且满的线性同构此外 eiei ejej 3内积空间69因此T还保持内积于是当N 20设X是内积空间 21设X是内积空间 22射影定理 设H是Hilbert空间 H为闭子空间则H中的每个元素x都可以唯一地表示为x 人们称这个由x和M唯一确定的y为x在M上的正交射影上式也称为x的正交分解 证明对任意的x 则存在yn 使得yn 事实上对任意的m 有12ym yn 12ym yn ymyn ymyn 2x 由M闭可知M是H的完备子空间故存在y M使得yn 70第二章空间理论m1 λm1λm1 m1m1 a2 2Re 特别的选取λ m1m1 代入上式得a2a2 2Re m1m1 假设又有xy1 z1 y1 y1z1 y1z1 所以yy1 z1从这个定理可以看出 用子空间M中的元素y′逼近x时 逼近程度最好在随机过程理论、逼近论、最优化理论以及其他学科中 经常用投影的这一性质来研究最佳逼近问题 Hilbert空间是几何性质最丰富的空间 理由之一就在于它有上述射影定理 习题1 证明距离空间中的任何Cauchy序列都是有界的 举例说明在无穷维距离线性空间中 有界无穷集未必含有收敛子列 证明l不可分 Rn证明Rn按距离ρ是完备的距离线性空间手机现场报码开奖直播



友情链接:
Copyright 2018-2021 今晚特马开奖结果 版权所有,未经授权,禁止转载。

今晚六合开奖结果| 香港挂牌| 本港台同步报码室| 168开奖现场| 免费资料大全| www.34458.com| 红姐心水论坛| 皇冠顶尖高手论坛| 白姐网| 小鱼儿单双四码| 43678曾道仙救世网算| 红财神报玄机图|